簡單的二維或者三維我們可以想象出來其分布狀態👩🏽‍💼，那麽對於更高維的數據，能想象出來其分布嗎？還有®️，就算能描述分布，如何精確地找到這些主成分的軸？如何衡量你提取的主成分到底占了整個數據的多少信息？所以，我們就要用到主成分分析的處理方法。

為了說明什麽是數據的主成分，我們首先得了解數據降維，數據降維時怎麽回事？二，數據降維  假設三維空間中有一系列點☮️，這些點分布在一個過原點的斜面上，如果你用自然坐標x,y,z這三個軸來表示這組數據的話，需要使用三個維度🏊🏻，而事實上，這些點的分布僅僅是在一個二維的平面上🧗🏼‍♀️😹，那麽問題出在哪裏？如果你仔細想想🙌，能不能把x,y,z坐標系旋轉一下，使數據所在平面與x，y平面重合🏌🏿‍♀️？這就對了🧑‍🍳🧑‍🦱！如果把旋轉後的坐標記為x'，y'，z'，那麽這組數據的表示只用x'和y'兩個維度表示即可！

當然了，如果想恢復原來的表示方式，那就得把這兩個坐標之間的變換矩陣存下來🧑🏿‍🚒。這樣就能把數據維度降下來了🚰🧏🏽‍♀️！但是，我們要看到這個過程的本質，如果把這些數據按行或者按類排成一個矩陣，那麽這個矩陣的秩就是2！這些數據之間是有相關性的🙎‍♂️🐣，這些數據構成的過原點的向量的最大線性無關組包含2個向量🔨，這就是為什麽一開始就假設平面過原點的原因！

那麽如果不過原點呢？這就是數據中心化的緣故！將坐標原點平移到數據中心，這樣原本不相關的數據在這個新坐標系中就有相關性了🧏🏻‍♂️！有趣的是💁🏼‍♂️，三點一定共面，也就是三維空間中任意三點中心化後都是線性相關的🔒，一般來講n維空間中n個點一定能在一個n-1維子空間中分析！

總結一下這個例子，數據降維後並沒有丟棄任何東西，因為這些數據在平面以外的第三個維度的分量都為0🪑。現在，假設這些數據在z'軸有一個很小的抖動🙋🏼‍♂️，那麽我們仍然用上述的二維表示這些數據，理由是我們可以認為這兩個軸的信息是數據的主成分📂，而這些信息對於我們的分析已經足夠了，z'軸上的抖動很有可能是噪音，也就是說本來這組數據是有相關性的，噪聲的引入，導致了數據不完全相關，但是，這些數據在z'軸上的分布與原點構成的夾角非常小，也就是說在z'軸上有很大的相關性🏋🏻‍♀️，綜合考慮，就可以認為數據在x'👩🏿‍🔬，y'軸上的投影構成了數據的主成分！

所以說，降維肯定意味著信息的丟失，不過鑒於實際數據本身常常存在的相關性，我們可以想辦法在降維的同時將信息的損失盡量降低🈸。

下面在說一個極端的情況，也許在現實中不會出現👩🏼‍🔬🎗，但是 類似的情況還是很常見的。

假設某學籍數據有兩列M和F，其中M列的取值是如果此學生為男性，則取值為1，為女性則取0；而F列是學生為女性🖊，則取值為0，男性則為1.此時如果我們統計全部學籍數據🧑🏻‍🍼，會發現對於任何一條記錄來說💆🏿‍♂️👩‍🚀，當M為1時F必定為0🙁，反之當M為0時F必定為1🔃，在這種情況下，我們將M或者F去掉實際上沒有任何信息的損失🫶，因為只要保留一列就可以完全還原另一列。

那麽降維我們差不多說清楚了，現在我們將自己面對的數據抽象為一組向量🧐，那麽下面我們有必要研究一些向量的數學性質📮，而這些數學性質將成為後續推導出PCA的理論基礎。